Question

已知a_n=log_n+1（n+2）（n∈N₊），观察下列运算：
a₁•a₂=log₂3•log₃4=2；
a1•a2•a3•a4•a5•a6=log23•log34…log78=

lg3

lg2

•

lg4

lg3

•

lg5

lg4

…

lg8

lg7

=3；
…
定义使a₁•a₂•…•a_k为整数的k（k∈N₊）叫做和谐数．试确定当a₁•a₂•…•a_k=2013时，和谐数k=

 

．

Answer 1

考点：对数的运算性质,归纳推理

专题：新定义,函数的性质及应用

分析：由于a_n=log_n+1（n+2）=

lg(n+2)

lg(n+1)

．可得a₁•a₂•…•a_k=

lg3

lg2

•

lg4

lg3

•…•

lg(k+2)

lg(k+1)

=

lg(k+2)

lg2

，解出a₁•a₂•…•a_k=2013即可．

解答： 解：∵a_n=log_n+1（n+2）=

lg(n+2)

lg(n+1)

．
∴a₁•a₂•…•a_k=

lg3

lg2

•

lg4

lg3

•…•

lg(k+2)

lg(k+1)

=

lg(k+2)

lg2

，
∵a₁•a₂•…•a_k=2013，∴

lg(k+2)

lg2

=2013，
∴k+2=2²⁰¹³，
解得和谐数k=2²⁰¹³-2．
故答案为：k=2²⁰¹³-2．

点评：本题考查了对数的换底公式和运算法则，属于基础题．