Question

16．已知|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow{b}$|=6，向量$\overrightarrow{OA}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow{b}$，∠AOB=θ．
（1）若θ=90°，求|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|与|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|；
（2）若θ=60°，求|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|与|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|；
（3）若θ=120°，求|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|与|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|；
（4）若θ确定，则|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|与|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|能否确定？并求当θ变化时它们的取值范围．

Answer 1

分析 先根据向量的数量积和向量模得到|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|=6$\sqrt{2（1+cosθ）}$，|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|=6$\sqrt{2（1-cosθ）}$，然后分别代值计算即可．

解答 解：由于|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|²=|$\overrightarrow{a}$|²+|$\overrightarrow{b}$|²+2$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=|$\overrightarrow{a}$|²+|$\overrightarrow{b}$|²+2|$\overrightarrow{a}$|•|$\overrightarrow{b}$|cosθ=72+72cosθ=72（1+cosθ），
|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|²=|$\overrightarrow{a}$|²+|$\overrightarrow{b}$|²-2$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=|$\overrightarrow{a}$|²+|$\overrightarrow{b}$|²-2|$\overrightarrow{a}$|•|$\overrightarrow{b}$|cosθ=72-72cosθ=72（1-cosθ），
故|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|=6$\sqrt{2（1+cosθ）}$，|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|=6$\sqrt{2（1-cosθ）}$；
（1）若θ=90°，|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|=6$\sqrt{2}$，|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|=6$\sqrt{2}$
（2）若θ=60°，|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|=6$\sqrt{3}$，|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|=6，
（3）若θ=120°，|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|=6，|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|=6$\sqrt{3}$，
（4）若θ确定，则|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|与|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|能确定，
∵0≤θ≤180°，
∴-1≤cosθ≤1，
∴0≤1+cosθ≤2，0≤1-cosθ≤2，
∴0≤|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|≤6$\sqrt{2}$，0≤|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|≤6$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了向量的数量积的运算，以及向量模的计算，属于基础题．