Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n满足：S_n=

3

2

a_n+n-3．
（Ⅰ）求证：数列{a_n-1}是等比数列；
（Ⅱ）令c_n=log₃（a₁-1）+log₃（a₂-1）+…+log₃（a_n-1），对任意n∈N^*，是否存在正整数m，使

1

c1

+

1

c2

+…+

1

cn

≥

m

3

都成立？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合,数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）根据条件，求出相应数列的第一项，再利用前n项和与第n项的关系，求出要证数列的第n项与第n-1项的比值为为定值；
（Ⅱ）根据条件，对不等式左边求和，再求出最值，利用恒成立的情况，得到m的取值范围，从而求出满足条件的值．

解答： （Ⅰ）证明：当n=1时，S1=a1=

3

2

a1-2，解得a₁=4，
当n≥2时，由Sn=

3

2

an+n-3得Sn-1=

3

2

an-1+n-4，
两式相减，得Sn-Sn-1=

3

2

an-

3

2

an-1+1，即a_n=3a_n-1-2，
则a_n-1=3（a_n-1-1），
故数列{a_n-1}是以a₁-1=3为首项，公比为3的等比数列．
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知an-1=3n，cn=log3(a1-1)+log3(a2-1)+…+log3(an-1)=1+2+…+n=

n(n+1)

2

，
所以

1

cn

=

2

n(n+1)

=2(

1

n

-

1

n+1

)，
则

1

c1

+

1

c2

+…+

1

cn

=2[(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+…+(

1

n

-

1

n+1

)]=2(1-

1

n+1

)，
由

1

c1

+

1

c2

+…+

1

cn

≥

m

3

对任意n∈N^*都成立，得2(1-

1

n+1

)≥

m

3

，
即m≤6(1-

1

n+1

)对任意n∈N^*都成立，
∵6(1-

1

n+1

)≥6×(1-

1

2

)=3，
∴m≤3．
又∵m∈N^*，
∴m的值为1，2，3．
故对任意n∈N^*，存在正整数m=1，2，3，使

1

c1

+

1

c2

+…+

1

cn

≥

m

3

都成立．

点评：本题考查的是数列和不等式的知识，具体有：等比数列定义，数列前n项和与第n项的关系，数列的求和，代数式的最值，不等式的解，本题的知识容量较大，属于难题．