Question

15．已知公差不为零的等差数列{a_n}中，a₁=1且a₁，a₃，a₉成等比数列，
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式
（Ⅱ）设b_n=n•2${\;}^{{a}_{n}}$求数列[b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设数列{a_n}的公差为d≠0．由a₁=1，且a₁，a₃，a₉成等比数列，可得a₃²=a₁•a₉，即（1+2d）²=1×（1+8d），解出d即可得出通项公式；
（Ⅱ）b_n=n•2${\;}^{{a}_{n}}$=n•2ⁿ，利用错位相减法求和即可．

解答 解：（Ⅰ）设数列{a_n}的公差为d≠0．
∵a₁=1，且a₁，a₃，a₉成等比数列，
∴a₃²=a₁•a₉，即（1+2d）²=1×（1+8d），
∴4d²=8d，∵d≠0，∴d=1．
∴a_n=a₁+（n-1）=1+n-1=n．
（Ⅱ）∵b_n=n•2${\;}^{{a}_{n}}$=n•2ⁿ
∴S_n=1•2¹+2•2²+3•2³+…+（n-1）•2^n-1+n•2ⁿ…①
        2S_n=1•2²+2•2³+…+（n-2）•2^n-1+（n-1）•2ⁿ+n•2ⁿ⁺¹…②
①-②得-S_n=2+2²+2³+…+2ⁿ-n•2^n-1=2ⁿ⁺¹（1-n）-2．
∴S_n=（n-1）•2ⁿ⁺¹+2．

点评 本题考查了等差数列的通项，错位相减法求和，属于中档题．