Question

5．已知数列{a_n}中，a₁=2，a_n=2-$\frac{1}{{a}_{n-1}}$（n≥2，n∈N^*）．设b_n=$\frac{1}{{a}_{n}-1}$（n∈N^*），求证：数列{b_n}是等差数列．

Answer 1

分析 利用已知递推关系，作差b_n+1-b_n，证明为常数即可．

解答 证明：∵a₁=2，a_n=2-$\frac{1}{{a}_{n-1}}$（n≥2，n∈N^*），b_n=$\frac{1}{{a}_{n}-1}$（n∈N^*），
∴b_n+1-b_n=$\frac{1}{{a}_{n+1}-1}$-$\frac{1}{{a}_{n}-1}$=$\frac{1}{2-\frac{1}{{a}_{n}}-1}$-$\frac{1}{{a}_{n}-1}$=$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n}-1}$-$\frac{1}{{a}_{n}-1}$=1，b₁=$\frac{1}{{a}_{1}-1}$=1，
∴数列{b_n}是等差数列，首项为1，公差为1．

点评 本题考查了数列递推关系、等差数列的定义、作差法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．