Question

已知函数满足：①定义在上；②当时，；③对于任意的，有.
（1）取一个对数函数，验证它是否满足条件②，③；
（2）对于满足条件①，②，③的一般函数，判断是否具有奇偶性和单调性，并加以证明.

Answer 1

(1)当时，.
又
，即.
故满足条件②，③.
（2）在上是奇函数. 在上是减函数.

，当，时先计算出，在利用对数函数的性质，得；利用对数的运算法则，得出。
解：(1)当时，.
又
，即.
故满足条件②，③.
（2）这样的函数是奇函数.

在上是奇函数.
这样的函数是减函数. 
当时，，由条件知，即.
在上是减函数.