Question

20．若对?x，y∈（0，+∞），不等式4xlna≤e^x+y-2+e^x-y-2+2恒成立，则正实数a的最大值是$\sqrt{e}$．

Answer 1

分析 设f（x）=e^x+y-2+e^x-y-2+2，原不等式恒成立即为4xlna≤f（x）（x，y∈（0，+∞））恒成立，运用基本不等式和参数分离可设2lna≤$\frac{1{+e}^{x-2}}{x}$在x＞0时恒成立，再令g（x）=$\frac{1{+e}^{x-2}}{x}$，通过求导，判断单调性，求得g（x）的最小值，即可求得正实数a的最大值．

解答 解：设f（x）=e^x+y-2+e^x-y-2+2，
不等式4xlna≤e^x+y-2+e^x-y-2+2恒成立，
即为不等式4xlna≤f（x）恒成立，即f（x）=e^x-2（e^y+e^-y）+2≥2+2e^x-2（当且仅当y=0时，取等号），
故4xlna≤2+2e^x-2，即2lna≤$\frac{1{+e}^{x-2}}{x}$在x＞0时恒成立，
令g（x）=$\frac{1{+e}^{x-2}}{x}$，
g′（x）=$\frac{{e}^{x-2}（x-1）-1}{{x}^{2}}$，令g′（x）=0，得（x-1）e^x-2=1，
令h（x）=（x-1）e^x-2，h′（x）=xe^x-2，
原不等式恒成立即为4xlna≤f（x）（x，y∈（0，+∞））恒成立，
运用基本不等≥式和参数分离可设2lna≤$\frac{1{+e}^{x-2}}{x}$在x＞0时恒成立，
再令g（x）=$\frac{1{+e}^{x-2}}{x}$，通过求导，
当x＞0时，h（x）递增，由于h（2）=1，即有（x-1）e^x-2=1的根为2，
当x＞2时，h（x）递增，当0＜x＜2时，g（x）递减，
即有x=2时，g（x）取得最小值1，则有2lna≤1，∴0＜a≤$\sqrt{e}$，
∴正实数a的最大值是$\sqrt{e}$，
故答案为：$\sqrt{e}$．

点评 本题考查不等式恒成立问题，注意转化为求函数的最值问题，运用参数分离与构造函数、运用导数研究函数的单调性是难点，属于难题．