Question

已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的离心率为

1

2

，且其焦点F（c，0）（c＞0）到相应准线l的距离为3，过焦点F的直线与椭圆交于A，B两点．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）设M为椭圆的右顶点，则直线AM，BM与准线l分别交于P，Q两点（P，Q两点不重合），求证：

FP

•

FQ

=0．．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先根据题意通过离心率和焦点到准线的距离联立方程求得a和c，则b可得，进而求得椭圆的方程．
（Ⅱ）先看直线AB与x轴垂直时，把x=1代入椭圆方程求得P，Q的坐标，则

FP

和

FQ

可求，进而求得

FP

•

FQ

=0；再看若直线AB与X轴不垂直，设出直线方程与椭圆方程联立消去y，根据韦达定理求得x₁+x₂和x₁x₂的表达式，进而根据直线方程求得y₁y₂的表达式，进而根据三点共线，斜率相等求得y₃和y₄的表达式，表示出

FP

和

FQ

，进而求得

FP

•

FQ

=0．

解答：解：（Ⅰ）由题意有

c a = 1 2 a2 c -c=3

解得a=2，c=1
从而b=

a2-c2

=

3

∴椭圆的标准方程为

x2

4

+

y2

3

=1
（Ⅱ）①若直线AB与x轴垂直，则直线AB的方程是x=1
∵该椭圆的准线方程为x=4，
∴P（4，3），Q（4，3），∴

FP

=（3，-3），

FQ

=（3，3）
∴

FP

FQ

=0
∴当直线AB与X轴垂直时，命题成立．
②若直线AB与X轴不垂直，则设直线AB的斜率为k，
∴直线AB的方程为y=k（x-1），k≠0
又设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），P（x₃，y₃），Q（x₄，y₄）
联立

y=k(x-1) x2 4 + y2 3 =1

消y得，根据韦达定理可知
∴x₁+x₂=

8k2

3+4k2

，x₁x₂=

4k2-12

3+4k2

∴y₁y₂=k2（x₁-1）（x₂-1）=

8-9k2

3+4k2

又∵A、M、P三点共线，∴y₃=

2y1

x1-2

同理y₄=

2y2

x2-2

∴

FP

=（3，

2y1

x1-2

），

FQ

=（3，

2y2

x2-2

）
∴

FP

•

FQ

=9+

4y1y2

x1x2-2(x1 +x2)+4

=0
综上所述：

FP

•

FQ

=0

点评：本题主要考查了直线与椭圆的关系问题．解决直线与圆锥曲线的关系时，注意讨论直线的斜率不存在的情况．