Question

已知函数f(x)＝，x∈[－1，1]，函数g(x)＝f ²(x)－2af(x)＋3的最小值为h(a)．

(1)求h(a)；

(2)是否存在实数m、n，同时满足以下条件：

①m>n>3；

②当h(a)的定义域为[n，m]时，值域为[n²，m²]．

若存在，求出m、n的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

 (1)因为x∈[－1,1]，所以∈.

设＝t，t∈，则g(x)＝φ(t)＝t²－2at＋3＝(t－a)²＋3－a².

当a<时，h(a)＝φ＝－；

当≤a≤3时，h(a)＝φ(a)＝3－a²；

当a>3时，h(a)＝φ(3)＝12－6a.

所以h(a)＝

(2)因为m>n>3，a∈[n，m]，所以h(a)＝12－6a.

因为h(a)的定义域为[n，m]，值域为[n²，m²]，且h(a)为减函数，

所以两式相减得6(m－n)＝(m－n)(m＋n)，因为m>n，所以m－n≠0，得m＋n＝6，但这与“m>n>3”矛盾，故满足条件的实数m、n不存在．