Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，

点A(0,3)，直线l：y＝2x－4.设圆C的半径为1，圆心在l上．

(1)若圆心C也在直线y＝x－1上，过点A作圆C的切线，求切线的方程；

(2)若圆C上存在点M，使|MA|＝2|MO|，求圆心C的横坐标a的取值范围．

审题路线　(1)由两条直线解得圆心C的坐标⇒设过点A与圆C相切的切线方程⇒由点到直线的距离求斜率⇒写出切线方程；(2)设圆C的方程⇒设点M(x，y)⇒由|MA|＝2|MO|得M的轨迹方程⇒由两圆有公共点，列出关于a的不等式⇒解不等式可得．

 

Answer 1

解　(1)由题设，圆心C是直线y＝2x－4和y＝x－1的交点，解得点C(3,2)，于是切线的斜率必存在．

设过A(0,3)的圆C的切线方程为y＝kx＋3，

由题意，得＝1，解得k＝0或－，

故所求切线方程为y＝3或3x＋4y－12＝0.

(2)因为圆心在直线y＝2x－4上，

所以圆C的方程为(x－a)²＋[y－2(a－2)]²＝1.

设点M(x，y)，因为|MA|＝2|MO|，所以

化简得x²＋y²＋2y－3＝0，即x²＋(y＋1)²＝4，

所以点M在以D(0，－1)为圆心，2为半径的圆上．

由题意，点M(x，y)在圆C上，所以圆C与圆D有公共点，则|2－1|≤|CD|≤2＋1，

即1≤≤3.整理得－8≤5a²－12a≤0.

由5a²－12a＋8≥0，得a∈R；由5a²－12a≤0，得0≤a≤.

所以点C的横坐标a的取值范围是.