Question

7．已知F₁，F₂是椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左右焦点，点P是椭圆上一点，△PF₁F₂是等腰的钝角三角形，且∠P=30°，则椭圆的离心率为（　　）

• A． $\frac{\sqrt{2}-1}{2}$
• B． $\frac{\sqrt{3}-1}{2}$
• C． $\sqrt{2}$-1
• D． $\sqrt{3}$-1

Answer 1

分析 可设|PF₂|=|F₁F₂|=2c，由椭圆的定义可得|PF₁|+|PF₂|=2a，可得|PF₁|=2a-2c，再由余弦定理，化简整理，可得a，c的关系，再由离心率公式计算即可得到所求值．

解答 解：△PF₁F₂是等腰的钝角三角形，且∠P=30°，
可设|PF₂|=|F₁F₂|=2c，
由椭圆的定义可得|PF₁|+|PF₂|=2a，
可得|PF₁|=2a-2c，
由余弦定理可得，cos∠P=$\frac{|P{F}_{1}{|}^{2}+|P{F}_{2}{|}^{2}-|{F}_{1}{F}_{2}{|}^{2}}{2|P{F}_{1}|•|P{F}_{2}|}$，
即有cos30°=$\frac{（2a-2c）^{2}+4{c}^{2}-4{c}^{2}}{2（2a-2c）•2c}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
化为a-c=$\sqrt{3}$c，即a=（1+$\sqrt{3}$）c，
可得e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{1+\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$．
故选：B．

点评 本题考查椭圆的离心率的求法，注意运用余弦定理和离心率公式，考查化简整理的圆能力，属于中档题．