Question

在数列{a_n}中，已知a₁=

1

4

，

an+1

an

=

1

4

，b_n+2=3log

1

4

a_n（n∈N^*）．
（1）求数列{a_n}、{b_n}的通项公式；
（2）设数列{c_n}满足c_n=a_n•b_n，求{c_n}的前n项和S_n．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由条件建立方程组即可求出数列{a_n}、{b_n}的通项公式；
（2）根据错位相减法即可求{c_n}的前n项和S_n．

解答： 解：（1）∵a₁=

1

4

，

an+1

an

=

1

4

，
∴数列{a_n}是公比为

1

4

的等比数列，∴an=(

1

4

)n(n∈N*)，
又bn=3log

1

4

an-2，故 b_n=3n-2（n∈N^*）．
（2）由（1）知，an=(

1

4

)n，bn=3n-2(n∈N*)，
∴cn=(3n-2)×(

1

4

)n，(n∈N*)，
∴Sn=1×

1

4

+4×(

1

4

)2+7×(

1

4

)3+…+(3n-5)×(

1

4

)n-1+(3n-2)×(

1

4

)n，
于是

1

4

Sn=1×(

1

4

)2+4×(

1

4

)3+7×(

1

4

)4+…+(3n-5)×(

1

4

)n+(3n-2)×(

1

4

)n+1．
两式相减，得

3

4

Sn=

1

4

+3[(

1

4

)2+(

1

4

)3+…+(

1

4

)n]-(3n-2)×(

1

4

)n+1=

1

2

-(3n+2)×(

1

4

)n+1．
∴Sn=

2

3

-

3n+2

3

×(

1

4

)n(n∈N*)

点评：本题主要考查等差数列和等比数列的通项公式的计算，以及利用错位相减法进行求和的内容，考查学生的计算能力．