Question

2．已知定义在R上的二次函数f（x）满足：f（x）=-x²+bx+c，且f（x）=f（1-x）．对于数列{a_n}，若a₁=0，a_n+1=f（a_n）（n∈N^*）
（1）求数列{a_n}是单调递减数列的充要条件；
（2）求c的取值范围，使数列{a_n}是单调递增数列．

Answer 1

分析 （1）由题意可得f（x）的对称轴为x=$\frac{1}{2}$，求得b=1，由数列{a_n}是单调递减数列等价为a_n+1＜a_n，即为
a_n+1-a_n＜0，即c＜a_n²恒成立，求得a_n²的最小值，即可得到c的范围；
（2）由题意可得a_n+1-a_n＞0，即c＞a_n²恒成立，由二次函数的配方和单调性，可得a_n≤$\frac{1}{2}$时，数列递增，即可得到所求c的范围．

解答 解：（1）f（x）=f（1-x），可得f（x）的对称轴为x=$\frac{1}{2}$，
即有$\frac{b}{2}$=$\frac{1}{2}$，即b=1，
对于数列{a_n}，若a₁=0，a_n+1=f（a_n）（n∈N^*），
即有a_n+1=-a_n²+a_n+c，
则a_n+1-a_n=c-a_n²，
数列{a_n}是单调递减数列等价为a_n+1＜a_n，即为
a_n+1-a_n＜0，即c＜a_n²恒成立，
由a_n²≥0，且a₁=0，则c＜0．
故数列{a_n}是单调递减数列的充要条件为c＜0；
（2）数列{a_n}是单调递增数列，a_n+1＞a_n，即为
a_n+1-a_n＞0，即c＞a_n²恒成立，
由a_n+1=-a_n²+a_n+c=-（a_n-$\frac{1}{2}$）²+c+$\frac{1}{4}$，
当a_n≤$\frac{1}{2}$时，数列递增，即有a_n²≤$\frac{1}{4}$．
可得c＞$\frac{1}{4}$．
则c＞$\frac{1}{4}$，使数列{a_n}是单调递增数列．

点评 本题考查数列的单调性的判断和应用，考查二次函数的对称性和单调性，考查运算能力，属于中档题．