Question

7．已知⊙C过点P（1，1），且与⊙M：（x+2）²+（y+2）²=r²（r＞0）关于直线x+y+2=0对称．
（Ⅰ）求⊙C的方程；
（Ⅱ）过点P作两条相异直线分别与⊙C相交于A，B，且直线PA和直线PB的倾斜角互补，O为坐标原点，试判断直线OP和AB是否平行？请说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设出圆心的坐标，根据题意列方程求得圆心的坐标，求得半径，则圆的方程可得．
（Ⅱ）设出PA，PB的直线方程，把直线PA与圆的方程联立，根据点P的横坐标表示出方程的两个解，进而可表示出直线AB的斜率，判断出两直线的斜率相等．

解答 （Ⅰ）解：设圆心C（a，b），则$\left\{{\begin{array}{l}{\frac{a-2}{2}+\frac{b-2}{2}+2=0}\\{\frac{b+2}{a+2}=1}\end{array}}\right.$，解得$\left\{{\begin{array}{l}{a=0}\\{b=0}\end{array}}\right.$，
则圆C的方程为x²+y²=r²，将点P的坐标代入得r²=2，
故圆C的方程为x²+y²=2．
（Ⅱ）解：由题意知，直线PA和直线PB的斜率存在，且互为相反数，
故可设PA：y-1=k（x-1），PB：y-1=-k（x-1），且k≠0，
由$\left\{{\begin{array}{l}{y-1=k（x-1）}\\{{x^2}+{y^2}=2}\end{array}}\right.$，得（1+k²）x²-2k（k-1）x+k²-2k-1=0，
∵点P的横坐标x=1一定是该方程的解，故可得x_A=$\frac{{{k^2}-2k-1}}{{1+{k^2}}}$，
同理，x_B=$\frac{{{k^2}+2k-1}}{{1+{k^2}}}$，
∴${k_{AB}}=\frac{{{y_B}-{y_A}}}{{{x_B}-{x_A}}}=\frac{{-k（{x_B}-1）-k（{x_A}-1）}}{{{x_B}-{x_A}}}=\frac{{2k-k（{x_B}+{x_A}）}}{{{x_B}-{x_A}}}$=1=k_OP，
∴直线AB和OP一定平行．

点评 本题主要考查了直线与圆的方程的综合运用．用待定系数法是解决圆的标准方程问题的常用方法．直线与圆的方程问题的综合，直线与圆的方程联立，利用代数的方法来解决问题，是解决本题的关键．