Question

17．已知平面向量$\overrightarrow a，\overrightarrow b$，$|{\overrightarrow a}|=2$，$|{\overrightarrow b}|=\frac{1}{3}|{\overrightarrow a}|$，$|{\overrightarrow a-\frac{1}{2}\overrightarrow b}|=\frac{{\sqrt{43}}}{3}$，则$\overrightarrow a$与$\overrightarrow b$的夹角为$\frac{2π}{3}$．

Answer 1

分析 把$|{\overrightarrow a-\frac{1}{2}\overrightarrow b}|=\frac{{\sqrt{43}}}{3}$两边平方，然后结合平面向量的数量积求得$\overrightarrow a$与$\overrightarrow b$的夹角．

解答 解：由$|{\overrightarrow a-\frac{1}{2}\overrightarrow b}|=\frac{{\sqrt{43}}}{3}$，得$（\overrightarrow{a}-\frac{1}{2}\overrightarrow{b}）^{2}=\frac{43}{9}$，
即$|\overrightarrow{a}{|}^{2}-\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}+\frac{1}{4}|\overrightarrow{b}{|}^{2}=\frac{43}{9}$，
又$|{\overrightarrow a}|=2$，$|{\overrightarrow b}|=\frac{1}{3}|{\overrightarrow a}|$，
∴$4-\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}+\frac{1}{4}×\frac{4}{9}=\frac{43}{9}$，即$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=-\frac{2}{3}$．
∴$|\overrightarrow{a}|•|\overrightarrow{b}|cos＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}＞=-\frac{2}{3}$，
则$\frac{4}{3}cos＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}＞=-\frac{2}{3}$，∴$cos＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}＞=-\frac{1}{2}$，
∴$\overrightarrow a$与$\overrightarrow b$的夹角为$\frac{2π}{3}$．
故答案为：$\frac{2π}{3}$．

点评 本题考查平面向量数量积的求法，是基础的计算题．