Question

【题目】已知函数f（x）=3x ， x∈[﹣1，1]，函数g（x）=[f（x）]2﹣2af（x）+3．
（1）当a=0时，求函数g（x）的值域；
（2）若函数g（x）的最小值为h（a），求h（a）的表达式；
（3）是否存在实数m，n同时满足下列两个条件：①m＞n＞3；②当h（a）的定义域为[n，m]时，值域为[n2 ， m2]？若存在，求出m，n的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵函数f（x）=3x，x∈[﹣1，1]，∴ ，设t=3x， ，

则φ（t）=t2﹣2at+3=（t﹣a）2+3﹣a2，对称轴为t=a．

当a=0时，φ（t）=t2+3， ，∴φ（t）∈[ ，12]，

∴函数g（x）的值域是：[ ，12]；

（2）解：∵函数φ（t）的对称轴为t=a，

当a＜ 时，ymin=h（a）=φ（ ）= ；

当 时，ymin=h（a）=φ（a）=3﹣a2；

当a＞3时，ymin=h（a）=φ（3）=12﹣6a．

故 ，

（3）解：假设满足题意的m，n存在，∵m＞n＞3，∴h（a）=12﹣6a，

∴函数h（a）在（3，+∞）上是减函数．

又∵h（a）的定义域为[n，m]，值域为[n2，m2]，

∴ ，两式相减得6（m﹣n）=（m﹣n）（m+n），

又∵m＞n＞3，∴m﹣n≠0，∴m+n=6，与m＞n＞3矛盾．

∴满足题意的m，n不存在

【解析】（1）设t=3x ， 则φ（t）=t2﹣2at+3=（t﹣a）2+3﹣a2 ， φ（t）的对称轴为t=a，当a=0时，即可求出g（x）的值域；（2）由函数φ（t）的对称轴为t=a，分类讨论当a＜ 时，当 时，当a＞3时，求出最小值，则h（a）的表达式可求；（3）假设满足题意的m，n存在，函数h（a）在（3，+∞）上是减函数，求出h（a）的定义域，值域，然后列出不等式组，求解与已知矛盾，即可得到结论．
【考点精析】解答此题的关键在于理解函数的值域的相关知识，掌握求函数值域的方法和求函数最值的常用方法基本上是相同的．事实上，如果在函数的值域中存在一个最小（大）数，这个数就是函数的最小（大）值．因此求函数的最值与值域，其实质是相同的．