Question

3．已知x∈[-$\sqrt{3}$，$\sqrt{3}$]，y∈R₊，则（x-y）²+（$\sqrt{3-{x}^{2}}$-$\frac{9}{y}$）²的最小值为$21-6\sqrt{6}$．

Answer 1

分析 分别作y=$\sqrt{3-{x}^{2}}$，y=$\frac{9}{x}$的图象，分别取点（x，$\sqrt{3-{x}^{2}}$），（x，$\frac{9}{x}$），视为两图象上各取一点的距离，数形结合的思想，利用基本不等式的性质即可求解．

解答 解：分别作y=$\sqrt{3-{x}^{2}}$，y=$\frac{9}{x}$的图象，
分别取点（x，$\sqrt{3-{x}^{2}}$），（x，$\frac{9}{x}$），视为两图象上各取一点的距离的平方，
设P为y=x与y=$\frac{9}{x}$的交点，
∴PO²=x²+$\frac{81}{{x}^{2}}$≥2$\sqrt{81}$=18，即PO=$3\sqrt{2}$．
当且仅当x=3时，取等号．
故得的最小值为（OP-$\sqrt{3}$）²=$21-6\sqrt{6}$．
故答案为：$21-6\sqrt{6}$．

点评 本题主要考查了数形结合的思想，图象的做法和两点之间的距离公式的运用以及基本不等式的性质．属于中档题．