Question

在二项式（

x

+

1

2 4 x

）ⁿ的展开式中，前三项的系数成等差数列，求展开式中的有理项和二项式系数最大的项．

Answer 1

∵二项展开式的前三项的系数分别为1，

n

2

，

1

8

n（n-1）…2分
∴2•

n

2

=1+

1

8

n（n-1），
解得n=8或n=1（不合题意，舍去）…4分
∴T_r+1=

C

r8

•x

8-r

2

•(

1

2

)r•x-

r

4

=

C

r8

•2^-r•x4-

3r

4

，
当4-

3r

4

∈Z时，T_r+1为有理项，
∴0≤k≤8且k∈Z，
∴k=0，4，8符合要求…8分
故有理项有3项，分别是：T₁=x⁴，T₅=

35

8

x，T₉=

1

256

x^-2，
∵n=8，
∴展开式中共9项，中间一项即第5项的系数最大，T₅=

35

8

x…12分