Question

设f(x)＝|lg x|，a，b为实数，且0<a<b.

(1)求方程f(x)＝1的解；

(2)若a，b满足f(a)＝f(b)，求证：>1.

(3)在(2)的条件下，求证：由关系式f(b)＝2f()所得到的关于b的方程g(b)＝0，存在b₀∈(3,4)，使g(b₀)＝0.

Answer 1

解析：

(1)由f(x)＝1得，lg x＝±1，

所以x＝10或.

(2)证明：结合函数图象，由f(a)＝f(b)可判断a∈(0,1)，b∈(1，＋∞)，

从而－lg a＝lg b，从而ab＝1. 

得4b＝a²＋b²＋2ab，得＋b²＋2－4b＝0，

g(b)＝＋b²＋2－4b，

因为g(3)<0，g(4)>0，根据零点存在性定理可知，函数g(b)在(3,4)内一定存在零点，即存在b₀∈(3,4)，使g(b₀)＝0.