Question

 某汽车厂有一条价值为万元的汽车生产线，现要通过技术改造来提高该生产线的生产能力，提高产品的增加值．经过市场调查，产品的增加值万元与技术改造投入的万元之间满足：①与和的乘积成正比；②，其中是常数．若时，．        

   (1)求产品增加值关于的表达式；(2)求产品增加值的最大值及相应的的值．

Answer 1

 (1)设，因为时，，所以，所以 ， ．

(2)因为，令，则 (舍)，．

 ①当，即时，当时，，所以在上是增函数，当时，，所以在上是减函数，所以；

②当，即时，当时，，所以f(x)在上是增函数，所以 综上，当时，投入万元，最大增加值．当时，投入万元，最大增加值．