Question

数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，an＋1＝2Sn＋1(n∈N*)，等差数列{bn}满足b3＝3，b5＝9.

(1)分别求数列{an}，{bn}的通项公式；

(2)设cn＝(n∈N*)，求证：cn＋1<cn≤.

Answer 1

解　(1)由an＋1＝2Sn＋1，①

得an＝2Sn－1＋1(n≥2，n∈N*)，②

①－②得an＋1－an＝2(Sn－Sn－1)，

∴an＋1＝3an(n≥2，n∈N*)，

又a2＝2S1＋1＝3，∴a2＝3a1，∴an＝3n－1.

∵b5－b3＝2d＝6，∴d＝3，∴bn＝3n－6.

(2)证明：∵an＋2＝3n＋1，bn＋2＝3n，

∴cn＋1<cn<…<c1＝，即cn＋1<cn≤.