Question

5．如图，多面体ABCDEF中，DE⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，AB=2，
∠BAD=60°，四边形BDEF是正方形．
（Ⅰ）求证：CF∥平面AED；
（Ⅱ）求直线AF与平面ECF所成角的正弦值；
（Ⅲ）在线段EC上是否存在点P，使得AP⊥平面CEF，若存在，求出$\frac{EP}{PC}$的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据线面平行的判定定理，可得：BC∥平面ADE，BF∥平面ADE，进而由面面平等的判定定理，可得平面BCF∥平面AED，进而根据面面平行的性质得到：CF∥平面AED；
（Ⅱ）建立空间直角坐标系O-xyz．求出直线AF的方向向量与平面ECF的法向量，代入向量夹角公式，可得直线AF与平面ECF所成角的正弦值；
（Ⅲ）设P（x，y，z），$\overrightarrow{EP}=λ\overrightarrow{EC}$，根据AP⊥平面CEF，则平面CEF法向量为$\overrightarrow{n}$满足：$\overrightarrow{AP}∥\overrightarrow{n}$，根据无满足条件的λ值，可得不存在这样的P点．

解答 证明：（Ⅰ）因为ABCD是菱形，
所以BC∥AD．
又BC?平面ADE，AD?平面ADE，
所以BC∥平面ADE..…（1分）
又因为BDEF是正方形，
所以BF∥DE．
因为BF?平面ADE，DE?平面ADE，
所以BF∥平面ADE…（3分）
因为BC?平面BCF，BF?平面BCF，BC∩BF=B，
所以平面BCF∥平面AED…（4分）
因为CF?平面BCF，
所以CF∥平面AED．…．…..（5分）
解：（Ⅱ） 因为四边形ABCD为菱形，且∠BAD=60°，
所以△BCD为等边三角形…（6分）
取BD的中点O，
所以CO⊥BD，
取EF的中点G，连结OG，则OG∥DE
因为DE⊥平面ABCD，
所以OG⊥平面ABCD..…（7分）
如图建立空间直角坐标系O-xyz．
因为AB=2．
所以$O（0，0，0），A（0，-\sqrt{3}，0），B（1，0，0），C（0，\sqrt{3}，0），E（-1，0，2），F（1，0，2）$…（8分）
所以$\overrightarrow{AF}=（1，\sqrt{3}，2）$，$\overrightarrow{FE}=（-2，0，0）$，$\overrightarrow{FC}=（-1，\sqrt{3}，-2）$．
设平面CEF法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则有$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{n}•\overrightarrow{FE}=0\\ \overrightarrow{n}•\overrightarrow{FC}=0\end{array}\right.$
得 $\left\{{\begin{array}{l}{-2x=0}\\{-x+\sqrt{3}y-z=0}\end{array}}\right.$，
令y=1．则$\overrightarrow{n}=（0，1，\frac{\sqrt{3}}{2}）$…（9分）
设AF与平面ECF所成的角为θ，则$sinθ=|cos＜\overrightarrow{AF}，\overrightarrow{n}＞|=|\frac{\overrightarrow{AF}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{AF}||\overrightarrow{n}|}|=\frac{\sqrt{42}}{7}$，
所以直线AF与平面ECF所成角的正弦值为$\frac{{\sqrt{42}}}{7}$．          …．…..（10分）
（Ⅲ）不存在…（11分）
$\overrightarrow{EC}=（1，\sqrt{3}，-2）$，
设P（x，y，z），$\overrightarrow{EP}=λ\overrightarrow{EC}$，
由$\overrightarrow{AP}=\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{EP}=\overrightarrow{AE}+λ\overrightarrow{EC}$，
得$\overrightarrow{AP}=（λ-1，\sqrt{3}λ+\sqrt{3}，2-2λ）$…（12分）
因为平面CEF的法向量为 $\overrightarrow{n}=（0，1，\frac{\sqrt{3}}{2}）$．
若AP⊥平面CEF，则$\overrightarrow{AP}∥\overrightarrow{n}$，即$\overrightarrow{AP}=μ\overrightarrow{n}$，..…（13分）
得$\left\{\begin{array}{l}λ-1=0\\ \sqrt{3}λ+\sqrt{3}=μ\\ 2-2λ=\frac{{\sqrt{3}}}{2}μ\end{array}\right.$
方程组无解，不符合题意．
综上，不存在λ使得AP⊥平面CEF．…．…..（14分）

点评 本题考查的知识点是直线与平面平行的判定，直线与平面所成的角，向量法求线面夹角，难度中档．