Question

2．已知A、B是单位圆O上的两点，$\overrightarrow{CB}$=2$\overrightarrow{AC}$，∠OAB=60°，则$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OC}$=$\frac{5}{6}$．

Answer 1

分析 可作出图形，根据条件可以得到OA=1，OB=1，∠AOB=60°，而由$\overrightarrow{CB}=2\overrightarrow{AC}$可以得到$\overrightarrow{OC}=\frac{2}{3}\overrightarrow{OA}+\frac{1}{3}\overrightarrow{OB}$，这样进行向量数量积的运算便可求出$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OC}$的值．

解答 解：如图，OA=OB=1；

∵∠OAB=60°；
∴△OAB为等边三角形，∠AOB=60°；
由$\overrightarrow{CB}=2\overrightarrow{AC}$得，$\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OC}=2（\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OA}）$；
∴$\overrightarrow{OC}=\frac{2}{3}\overrightarrow{OA}+\frac{1}{3}\overrightarrow{OB}$；
∴$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OA}•（\frac{2}{3}\overrightarrow{OA}+\frac{1}{3}\overrightarrow{OB}）$
=$\frac{2}{3}{\overrightarrow{OA}}^{2}+\frac{1}{3}\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$
=$\frac{2}{3}+\frac{1}{3}•1•1•cos60°$
=$\frac{2}{3}+\frac{1}{6}$
=$\frac{5}{6}$．
故答案为：$\frac{5}{6}$．

点评 考查单位圆的概念，有一个角为60°的等腰三角形为等边三角形，以及向量减法的几何意义，向量的数乘运算，向量数量积的运算及其计算公式．