Question

已知数列{an}中，a1＝2，an－an－1－2n＝0(n≥2，n∈N*)．

(1)写出a2，a3的值(只写结果)，并求出数列{an}的通项公式；

(2)设bn＝＋＋＋…＋，若对任意的正整数n，当m∈[－1,1]时，不等式t2－2mt＋>bn恒成立，求实数t的取值范围．

 

Answer 1

（1）a2＝6，a3＝12. an＝n(n＋1)．

（2）实数t的取值范围为(－∞，－2)∪(2，＋∞)

【解析】【解析】
(1)∵a1＝2，an－an－1－2n＝0(n≥2，n∈N*)，

∴a2＝6，a3＝12.

当n≥3时，an－an－1＝2n，an－1－an－2＝2(n－1)，

又a3－a2＝2×3，a2－a1＝2×2，

∴an－a1＝2[n＋(n－1)＋…＋3＋2]，

∴an＝2[n＋(n－1)＋…＋3＋2＋1]＝2×＝n(n＋1)．

当n＝1时，a1＝2；当n＝2时，a2＝6，也满足上式，

∴数列{an}的通项公式为an＝n(n＋1)．

(2)bn＝＋＋…＋

＝＋＋…＋

＝－＋－＋…＋－

＝－

＝

＝.

令f(x)＝2x＋ (x≥1)，则f′(x)＝2－，

当x≥1时，f′(x)>0恒成立，

∴函数f(x)在[1，＋∞)上是增函数，

故当x＝1时，f(x)min＝f(1)＝3，

即当n＝1时，(bn)max＝.

要使对任意的正整数n，当m∈[－1,1]时，不等式t2－2mt＋>bn恒成立，则需t2－2mt＋>(bn)max＝，

即t2－2mt>0对?m∈[－1,1]恒成立，

∴，解得t>2或t<－2，

∴实数t的取值范围为(－∞，－2)∪(2，＋∞)．