Question

已知各项均不相等的等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝15，且a3＋1为a1＋1和a7＋1的等比中项．

(1)求数列{an}的通项公式与前n项和Sn；

(2)设Tn为数列{}的前n项和，问是否存在常数m，使Tn＝m[＋]，若存在，求m的值；若不存在，说明理由．

 

Answer 1

（1）an＝2n＋1 Sn＝n(n＋2)

（2）数m＝，见解析

【解析】【解析】
(1)设数列{an}的公差为d，由已知，可得

S3＝a1＋a2＋a3＝15，得a2＝a1＋d＝5，

由a3＋1为a1＋1和a7＋1的等比中项，

可得(6＋d)2＝(6－d)×(6＋5d)，化简得d2－2d＝0，

解得d＝0(不合题意，舍去)或d＝2，

当d＝2时，a1＝3，其通项公式为an＝3＋(n－1)×2＝2n＋1，前n项和Sn＝n(n＋2)．

(2)由(1)知数列{an}的前n项和为Sn＝n(n＋2)，

则有＝＝ (－)，

Tn＝ (1－＋－＋－＋…＋－＋－)＝ (1＋－－)＝ [＋]．

故存在常数m＝，使得Tn＝m[＋]成立．