Question

已知函数f（x）=ax³+bx²+c（a，b，c∈R）的图象过点P（-1，2），且在点P处的切线与直线x-3y=0垂直．
（Ⅰ）若c=0，试求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若a＞0，b＞0，且函数f（x）在（-∞，m），（n，+∞）上单调递增，试求n-m的范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）因c=0，代入f（x）=ax³+bx²+c得f（x）=ax³+bx²，然后求出函数的导数，然后令f′（x）=0，解出函数的极值点，最后根据导数判断函数的单调性，从而求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）由题意a＞0，b＞0，且函数f（x）在（-∞，m），（n，+∞）上单调递增，可以令f′（x）=3ax²+2bx=0，得函数的两个极值点，从而求出n-m的表达式，最后求解．

解答：解：（Ⅰ）因为f（x）的图象过点P（-1，2），所以-a+b+c=2．
又f′（x）=3ax²+2bx，且在点P处的切线与直线x-3y=0垂直．
所以3a-2b=-3，且c=0，所以a=1，b=3．所以f（x）=3x²+6x．
令f′（x）=0?x₁=0，x₂=-2．显然当x＜-2或x＞0时，f′（x）＞0；
当-2＜x＜0时，f′（x）＜0．则函数f（x）的单调增区间是（-∞，-2），（0，+∞），
函数f（x）的单调减区间是（-2，0）．（6分）
（Ⅱ）令f′（x）=3ax²+2bx=0，得x1=0，x2=-

2b

3a

．
因为a＞0，b＞0，所以当x＞0或x＜-

2b

3a

时，f′（x）＞0，
即函数f（x）的单调增区间是(-∞，-

2b

3a

)，(0，+∞)．
所以n-m≥0-(-

2b

3a

)=

2b

3a

.
又由（Ⅰ）知：3a-2b=-3，
所以n-m≥

2b

3a

=

3a+3

3a

=1+

1

a

＞1.
所以n-m＞1．（14分）

点评：此题主要考查多项式函数的导数，函数单调性的判定，函数最值，函数、方程与不等式等基础知识，一般出题者喜欢考查学生的运算求解能力、推理论证能力及分析与解决问题的能力，要出学生会用数形结合的思想、分类与整合思想，化归与转化思想、有限与无限的思想来解决问题．