Question

甲、乙、丙三人进行乒乓球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判．设各局中双方获胜的概率均为，各局比赛的结果相互独立，第1局甲当裁判．

（Ⅰ）求第4局甲当裁判的概率；

（Ⅱ）用X表示前4局中乙当裁判的次数，求X的分布列和数学期望．

Answer 1

解：（Ⅰ）记A₁表示事件“第2局结果为甲胜”，

A₂表示事件“第3局甲参加比赛时，结果为甲负”，

A表示事件“第4局甲当裁判”．

则A＝A₁·A₂．

P(A)＝P(A₁·A₂)＝P(A₁)P(A₂)＝．

（Ⅱ）X的可能取值为0，1，2．

记A₃表示事件“第3局乙和丙比赛时，结果为乙胜丙”，

B₁表示事件“第1局结果为乙胜丙”，

B₂表示事件“第2局乙和甲比赛时，结果为乙胜甲”，

B₃表示事件“第3局乙参加比赛时，结果为乙负”．

则P(X＝0)＝P(B₁·B₂·A₃)＝P(B₁)P(B₂)P(A₃)＝，

P(X＝2)＝P(·B₃)＝P()P(B₃)＝，

P(X＝1)＝1－P(X＝0)－P(X＝2)＝1－－＝．

∴X的分布列为

X	0	1	2
P