Question

11．设A是双曲线y=$\frac{2017}{x}$上一动点，自A向椭圆$\frac{{x}^{2}}{25}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1引两切线AP，AQ，切点分别为P，Q，若椭圆的左焦点为F，求$\frac{|AF{|}^{2}}{|PF||QF|}$的最小值．

Answer 1

分析 求出椭圆的a，b，c，e的值，以及焦点F，设A（m，n），即有mn=2017，设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），对椭圆方程求导，可得切线的斜率和方程，再求切点弦PQ的方程，联立椭圆方程，运用韦达定理，再由椭圆的焦半径公式和两点的距离公式，化简所求式子，可得$\frac{9{m}^{2}}{225}$+$\frac{{n}^{2}}{9}$，再由重要不等式即可得到所求最小值．

解答 解：椭圆$\frac{{x}^{2}}{25}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1的a=5，b=3，c=4，e=$\frac{c}{a}$=$\frac{4}{5}$，
可得F（-4，0），
设A（m，n），即有mn=2017，
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
即有$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{25}$+$\frac{{{y}_{1}}^{2}}{9}$=1，$\frac{{{x}_{2}}^{2}}{25}$+$\frac{{{y}_{2}}^{2}}{9}$=1，
两边对椭圆$\frac{{x}^{2}}{25}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1两边求导，
可得$\frac{2x}{25}$+$\frac{2y•y′}{9}$=0，
即有P处的切线的斜率为-$\frac{9{x}_{1}}{25{y}_{1}}$，
可得切线的方程为y-y₁=-$\frac{9{x}_{1}}{25{y}_{1}}$（x-x₁），
化简可得$\frac{{x}_{1}x}{25}$+$\frac{{y}_{1}y}{9}$=1；
同理可得，Q处的切线方程为$\frac{{x}_{2}x}{25}$+$\frac{{y}_{2}y}{9}$=1．
又切线AP，AQ经过点A，可得
$\frac{m{x}_{1}}{25}$+$\frac{n{y}_{1}}{9}$=1，$\frac{m{x}_{2}}{25}$+$\frac{n{y}_{2}}{9}$=1，
由两点确定一条直线，可得PQ的方程为$\frac{mx}{25}$+$\frac{ny}{9}$=1，
由$\left\{\begin{array}{l}{9mx+25ny=225}\\{9{x}^{2}+25{y}^{2}=225}\end{array}\right.$，消去y，可得
（81m²+225n²）x²-4050mx+225²-225×25n²=0，
即有x₁+x₂=$\frac{4050m}{81{m}^{2}+225{n}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{22{5}^{2}-225×25{n}^{2}}{81{m}^{2}+225{n}^{2}}$，
由椭圆的焦半径公式可得|PF|=a+ex₁=5+$\frac{4}{5}$x₁，|QF|=a+ex₂=5+$\frac{4}{5}$x₂，
则$\frac{|AF{|}^{2}}{|PF||QF|}$=$\frac{（m+4）^{2}+{n}^{2}}{（5+\frac{4}{5}{x}_{1}）（5+\frac{4}{5}{x}_{2}）}$=$\frac{（m+4）^{2}+{n}^{2}}{25+4（{x}_{1}+{x}_{2}）+\frac{16}{25}{x}_{1}{x}_{2}}$
=$\frac{（m+4）^{2}+{n}^{2}}{25+\frac{4×4050m}{81{m}^{2}+225{n}^{2}}+\frac{16}{25}×\frac{22{5}^{2}-225×25{n}^{2}}{81{m}^{2}+225{n}^{2}}}$=$\frac{[（m+4）^{2}+{n}^{2}]（81{m}^{2}+225{n}^{2}）}{9×225[（m+4）^{2}+{n}^{2}]}$
设A（m，n），即有mn=2017，
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
=$\frac{9{m}^{2}}{225}$+$\frac{{n}^{2}}{9}$≥2|$\frac{mn}{15}$|=$\frac{4034}{15}$，
当且仅当15|n|=9|m|，取得最小值$\frac{4034}{15}$．

点评 本题考查椭圆的方程和性质，主要是焦半径公式的运用，考查直线和椭圆相切的条件，以及切点弦方程的求法，直线方程和椭圆方程联立，运用韦达定理，同时考查化简整理的运算能力，属于难题．