Question

已知过点M（1，0）的直线交椭圆C：x²+3y²=6于A，B两点．
（1）求弦AB中点的轨迹方程；
（2）若F为椭圆C的左焦点，求△ABF面积的最大值．

Answer 1

（1）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），弦AB中点（x，y），则
∵过点M（1，0）的直线交椭圆C：x²+3y²=6于A，B两点，
∴x₁²+3y₁²=6，x₂²+3y₂²=6，
两式相减可得2x（x₁-x₂）+6y（y₁-y₂）=0，
∴

y1-y2

x1-x2

=-

x

3y

，
∵弦AB的斜率为

y

x-1

，
∴

y

x-1

=-

x

3y

，
化简可得弦AB中点轨迹方程为x²+3y²-x=0．
（2）设直线AB方程为x=my+1，代入x²+3y²=6中，化简得(m2+3)y2+2my-5=0，于是y1+y2=

-2m

m2+3

，y1y2=

-5

m2+3

．
又S△ABF=S△AMF+S△BMF=

1

2

|AF||y1-y2|，F（-2，0）
∴S2=

9

4

(y1-y2)2=

27(2m2+5)

(m2+3)2

=-27[

1

(m2+3)2

-

2

m2+3

]．
令t=

1

m2+3

，则0＜t≤

1

3

．S2=-27(t2-2t)=-27(t-1)2+27．
∴t=

1

3

时，S有最大值，最大值为

15

．