Question

（2010•朝阳区二模）如图所示，f（x）是定义在区间[-c，c]（c＞0）上的奇函数，令g（x）=af（x）+b，并有关于函数g（x）的四个论断：
①对于[-c，c]内的任意实数m，n（m＜n），

g(n)-g(m)

n-m

＞0恒成立；
②若b=0，则函数g（x）是奇函数；
③若a≥1，b＜0，则方程g（x）=0必有3个实数根；
④若a＞0，则g（x）与f（x）有相同的单调性．
其中正确的是（　　）

A．②③

B．①④

C．①③

D．②④

Answer 1

分析：①对于[-c，c]内的任意实数m，n（m＜n），

g(n)-g(m)

n-m

＞0恒成立，可根据函数的单调性来进行判断；
②若b=0，则函数g（x）是奇函数，由函数解析式的形式判断即可；
③若a≥1，b＜0，则方程g（x）=0必有3个实数根，由函数的图象及参数的取值范围进行判断；
④若a＞0，则g（x）与f（x）有相同的单调性，由函数的图象进行判断．

解答：解：①对于[-c，c]内的任意实数m，n（m＜n），

g(n)-g(m)

n-m

＞0恒成立，由函数的图象可以看出，函数不是单调增函数，故命题不正确；
②若b=0，则函数g（x）是奇函数，此命题正确，b=0时，g（x）=af（x）是一个奇函数；
③若a≥1，b＜0，则方程g（x）=0必有3个实数根，本题中没有具体限定b的范围，故无法判断g（x）=0有几个根；
④若a＞0，则g（x）与f（x）有相同的单调性，此命题正确，一个函数乘上一个正数再加上一个数，单调性不改变．
综上②④正确
故选D．

点评：本题考查奇偶性与单调性的综合，求解本题的关键是对函数的图象变换的方式与系数的关系以及与所加的常数的关系的理解与运用．一般一个一个奇函数乘上一个数仍是奇函数，一个增函数乘上一个正数仍是增函数，一个函数加上一个常数，不改变其单调性，由这些结论即可保证正确做对本题．