Question

8．设函数f（x）=$\frac{{e}^{x}}{{x}^{2}}-k（\frac{2}{x}+lnx）$（k为常数，e是自然对数的底数）．
（1）当k≤0时，求函数f（x）的单调区间；
（2）若函数f（x）在（0，2）内存在两个极值点，求k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出函数f（x）的导数，由于x＞0，k≤0，可得e^x-kx＞0，分别令f′（x）＞0，f′（x）＜0，解出x的取值范围即可．
（2）函数f（x）在（0，2）内存在两个极值点，?f′（x）=0有两个实数根．化为k=$\frac{{e}^{x}}{x}$，因此k=$\frac{{e}^{x}}{x}$在（0，2）内存在两个实数根．利用导数研究其单调性极值和最值即可．

解答 解：（1）当k≤0时，函数f（x）=$\frac{{e}^{x}}{{x}^{2}}-k（\frac{2}{x}+lnx）$（x＞0）．
f′（x）=$\frac{（x-2）{e}^{x}}{{x}^{3}}$-k（-$\frac{2}{{x}^{2}}$+$\frac{1}{x}$）=$\frac{（x-2）（{e}^{x}-kx）}{{x}^{3}}$，
由于x＞0，k≤0，可得e^x-kx＞0，
令f′（x）＞0，解得x＞2．令f′（x）＜0，解得0＜x＜2．
∴函数f（x）在（2，+∞）上单调递增；在（0，2）上单调递减；
（2）∵函数f（x）在（0，2）内存在两个极值点，
∴f′（x）=$\frac{（x-2）{e}^{x}}{{x}^{3}}$-k（-$\frac{2}{{x}^{2}}$+$\frac{1}{x}$）=0有两个实数根．
化为k=$\frac{{e}^{x}}{x}$，
∴k=$\frac{{e}^{x}}{x}$在（0，2）内存在两个实数根．
设h（x）=$\frac{{e}^{x}}{x}$，x∈（0，2）．则h′（x）=$\frac{（x-1）{e}^{x}}{{x}^{2}}$．
令h′（x）=0，解得x=1．
令h′（x）＞0，解得1＜x＜2；令h′（x）＜0，解得0＜x＜1．
∴函数h（x）在区间（0，1）上单调递减，在区间（1，2）上单调递增．
∴当x=1时，函数h（x）取得极小值即最小值，h（1）=e．
而h（2）=$\frac{{e}^{2}}{2}$，h（0）→+∞．
∴e＜k＜$\frac{{e}^{2}}{2}$．

点评 本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值，考查了方程的实数根等价转化为函数图象的交点，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．