Question

14．已知函数f（x）=ax²+2x+1，x∈R
（1）当a=-$\frac{1}{2}$时，根据单调函数定义证明f（x）在[2，+∞）上是减函数
（2）若f（x）在[0，2]上是增函数，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）$a=-\frac{1}{2}$时，求出f（x）=$-\frac{1}{2}{x}^{2}+2x+1$，用减函数的定义证明f（x）在[2，+∞）上为减函数：设任意的x₁＞x₂≥2，作差，提取公因式（x₁-x₂），从而证明f（x₁）＜f（x₂）即可证出f（x）在[2，+∞）上为减函数；
（2）可讨论a的符号：a=0时，会得到f（x）=2x+1，显然满足f（x）在[0，2]上是增函数；a＞0，和a＜0时，f（x）便为二次函数，这样可求出二次函数的对称轴为x=$-\frac{1}{a}$，根据二次函数的单调性从而可建立关于a的不等式，解不等式即可得出a的范围，合并a=0的情况便可得出实数a的取值范围．

解答 解：（1）a=$-\frac{1}{2}$时，f（x）=$-\frac{1}{2}{x}^{2}+2x+1$；
设x₁＞x₂≥2，则：
f（x₁）-f（x₂）=$-\frac{1}{2}{{x}_{1}}^{2}+2{x}_{1}+\frac{1}{2}{{x}_{2}}^{2}-2{x}_{2}$=$-\frac{1}{2}（{x}_{1}-{x}_{2}）（{x}_{1}+{x}_{2}）+2（{x}_{1}-{x}_{2}）$=$（{x}_{1}-{x}_{2}）[2-\frac{1}{2}（{x}_{1}+{x}_{2}）]$；
∵x₁＞x₂≥2；
∴x₁-x₂＞0，x₁+x₂＞4；
∴$2-\frac{1}{2}（{x}_{1}+{x}_{2}）＜0$；
∴f（x₁）＜f（x₂）；
∴函数f（x）在[2，+∞）上是减函数；
（2）①若a=0，f（x）=2x+1，满足在[0，2]上为增函数；
②若a＞0，f（x）对称轴为x=$-\frac{1}{a}$＜0，满足f（x）在[0，2]上是增函数；
③若a＜0，要使f（x）在[0，2]上为增函数，则：
$-\frac{1}{a}≥2$；
∴$a≥-\frac{1}{2}$；
∴$-\frac{1}{2}≤a＜0$；
∴综上得，实数a的取值范围为：$[-\frac{1}{2}，+∞）$．

点评 考查减函数的定义，以及根据减函数的定义证明一个函数为减函数的方法和过程，作差法比较f（x₁）与f（x₂）的大小，作差后一般要提取公因式x₁-x₂，以及二次函数的单调性和对称轴的关系，一次函数的单调性．