Question

7．若函数f（x）=x³-3x+5-a（a∈R）在$（{-3，\frac{3}{2}}）$上有2个零点，则a的取值范围是$[{\frac{31}{8}，7}）∪\left\{3\right\}$．

Answer 1

分析 求出函数的导数，得到函数的单调区间，从而求出函数的极值以及端点值，根据函数的零点求出a的范围即可．

解答 解：若函数f（x）=x³-3x+5-a，
则f′（x）=3x²-3=3（x-1）（x+1），
令f′（x）＞0，解得：x＞1或x＜-1，
令f′（x）＜0，解得：-1＜x＜1，
故f（x）在（-3，-1）递增，在（-1，1）递减，在（1，$\frac{3}{2}$）递增，
故f（x）_极大值=f（-1）=7-a，f（x）_极小值=f（1）=3-a，
而f（-3）=-13-a，f（$\frac{3}{2}$）=$\frac{31}{8}$-a，
故$\left\{\begin{array}{l}{f（-3）＞0}\\{f（1）＜0}\\{f（\frac{3}{2}）≤0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{f（-3）＜0}\\{f（0）＞0}\\{f（1）=0}\end{array}\right.$，
解得：a∈$[{\frac{31}{8}，7}）∪\left\{3\right\}$，
故答案为：$[{\frac{31}{8}，7}）∪\left\{3\right\}$．

点评 本题考查了函数的单调性、极值、最值问题，考查导数的应用以及函数的零点问题，是一道中档题．