Question

已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（其中A＞0，ω＞0，0＜φ＜

π

2

）的周期为π，且图象上有一个最低点为M（

2π

3

，-3）．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求函数y=f(x)+f(x+

π

4

)的最大值及对应x的值．

Answer 1

分析：（1）依题意，可求得A=3，由周期

2π

ω

=π可求ω，2×

2π

3

+φ=

3π

2

+2kπ（k∈Z），0＜φ＜

π

2

可求φ；
（2）利用辅助角公式，可求y=f（x）+f（x+

π

4

）=3

2

sin（2x+

5π

12

），利用正弦函数的性质，即可求得其最大值及其取最大值时对应x的值．

解答：解：（1）∵ω＞0，由

2π

ω

=π得：ω=2，又f（x）=Asin（ωx+φ）经过最低点M（

2π

3

，-3），A＞0，故A=3，
且2×

2π

3

+φ=

3π

2

+2kπ（k∈Z），0＜φ＜

π

2

，
∴φ=

π

6

，
∴f（x）=3sin（2x+

π

6

）；
（2）y=f（x）+f（x+

π

4

）
=3sin（2x+

π

6

）+3sin[2（x+

π

4

）+

π

6

]
=3sin（2x+

π

6

）+3cos（2x+

π

6

）
=3

2

sin（2x+

5π

12

），
∴y_max=3

2

．
此时2x+

5π

12

=2kπ+

π

2

，即x=kπ+

π

24

，k∈Z．

点评：本题考查由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，考查辅助角公式即正弦函数的性质及其应用，属于中档题．