Question

如图，两条过原点O的直线l₁，l₂分别与x轴、y轴成30°的角，点P(x₁，y₁)在直线l₁上运动，点Q(x₂，y₂)在直线l₂上运动，且线段PQ的长度为2.

(1)求动点M(x₁，x₂)的轨迹C的方程；

(2)设过定点T(0,2)的直线l与(1)中的轨迹C交于不同的两点A、B，且∠AOB为锐角，求直线l的斜率k的取值范围．

Answer 1

[解析]　(1)由已知得直线l₁⊥l₂，

l₁y＝x，l₂y＝－x，

∵点P(x₁，y₁)在直线l₁上运动，点Q(x₂，y₂)在直线l₂上运动，

∴y₁＝x₁，y₂＝－x₂，

由|PQ|＝2，得(x＋y)＋(x＋y)＝4，

即x＋4x＝4⇒＋x＝1，

∴动点M(x₁，x₂)的轨迹C的方程为＋y²＝1.

(2)直线l的方程为y＝kx＋2，将其代入＋y²＝1，

化简得(1＋3k²)x²＋12kx＋9＝0，

设A(x₃，y₃)、B(x₄，y₄)，

∴Δ＝(12k)²－36×(1＋3k²)>0⇒k²>1，

且x₃＋x₄＝－，x₃x₄＝，

∵∠AOB为锐角，∴>0，

即x₃x₄＋y₃y₄>0⇒x₃x₄＋(kx₃＋2)(kx₄＋2)>0，

∴(1＋k²)x₃x₄＋2k(x₃＋x₄)＋4>0.

将x₃＋x₄＝－，x₃x₄＝代入上式，

化简得>0⇒k²<.

由k²>1且k²<，得k∈(－，－1)∪(1，).