Question

18．在△ABC中，a²+b²+c²=2$\sqrt{3}$bcsinA，则△ABC的形状是（　　）

• A． 直角三角形
• B． 锐角三角形
• C． 钝角三角形
• D． 等边三角形

Answer 1

分析 在△ABC中，a²+b²+c²=2$\sqrt{3}$bcsinA，由余弦定理知，b²+c²-a²=2bccosA，两式相加，利用基本不等式及正弦函数的有界性即可判断出该△ABC的形状．

解答 解：∵在△ABC中，a²+b²+c²=2$\sqrt{3}$bcsinA，
又由余弦定理知，b²+c²-a²=2bccosA，
两式相加得：2（c²+b²）=2bc（$\sqrt{3}$sinA+cosA）=4bcsin（A+$\frac{π}{6}$），
∴sin（A+$\frac{π}{6}$）=$\frac{{c}^{2}+{b}^{2}}{2bc}$≥$\frac{2bc}{2bc}$=1（当且仅当c=b时取“=”），又sin（A+$\frac{π}{6}$）≤1，
∴sin（A+$\frac{π}{6}$）=1（当且仅当c=b时成立），A为△ABC的内角，
∴A+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$，A=$\frac{π}{3}$，又c=b，
∴△ABC的形状为等边△．
故选：D．

点评 本题考查三角形形状的判断，求得sin（A+$\frac{π}{6}$）=1是关键，考查余弦定理、辅助角公式、基本不等式及正弦函数的有界性，属于难题．