Question

【题目】如图1，在直角梯形ABCD中，E，F分别为AB的三等分点，，若沿着FG，ED折叠使得点A和B重合，如图2所示，连结GC，BD.

（1）求证：平面平面；

（2）求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析（2）

【解析】

（1）折叠后由于，因此取中点，有，只要再证得与平面内的另一条直线垂直即可得线面垂直，从而有面面垂直。为此再取中点，先证，再证得，那么命题由此可证；

（2）以为轴，为轴，建立解析中的空间直角坐标系，写出各点坐标，求得平面和平面的法向量，由法向量的夹角求得二面角。

（1）取BD，BE的中点分别为O，M，连结GO，OM，MF.且，又因为且，所以且，故四边形OGFM为平行四边形，故.因为M为EB中点，三角形BEF为等边三角形，故，因为平面EFB平面BCDE，故平面，因此平面，故平面平面BCDE；

（2）建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，

则，，，

设平面CDG的法向量为，

则，即，

令得；

设平面CBG的法向量为，

则，

即，

令得.

，

故二面角的余弦值为.