Question

【题目】我们把定义在上，且满足（其中常数、满足，，）的函数叫做似周期函数.

（1）若某个似周期函数满足且图象关于直线对称，求证：函数是偶函数；

（2）当，时，某个似周期函数在时的解析式为，求函数，，的解析式；

（3）对于（2）中的函数，若对任意，都有，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）.

【解析】

（1）利用似周期函数的性质、图像关于直线对称，结合函数奇偶性的定义，证得，由此证得是偶函数.

（2）利用迭代的方法，求得，，的解析式.

（3）根据（2）中求得的解析式，画出图像和的图像，确定的大致区间，令，求得对应的值，由此确定的取值范围.

（1）依题意可知，函数的定义域为，关于原点对称.由于图像关于对称，故①.又，即②，用代替得③.由①②③可知，而，，所以，故函数为偶函数.

（2）由于，，所以，得.

当时，；

当时，，；

当时，，；

当时，，；

……

以此类推，当时，.

同理，由于，，所以，得.

当时，，；

当时，，；

……

以此类推，当时，.

综上所述，当，时，

（3）由（2）画出的图像、函数图像如下图所示.由图可知，从左往右，从开始，与图像有交点.由（2）知，当时， ；令，解得或.结合图像可知，要使对任意，都有，则.故的取值范围是