Question

11．已知椭圆$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）长轴为4，离心率为$\frac{1}{2}$，点P为椭圆上异于顶点的任意一点，过点P作椭圆的切线l交y轴于点A，直线l′过点P且垂直于l交y轴于B，试判断以AB为直径的圆能否经过定点，若能求出定点坐标，若不能说出理由．

Answer 1

分析 运用椭圆的离心率公式和a，b，c的关系，解方程可得a，b，进而得到椭圆方程，运用椭圆的切线方程，以及两直线垂直的条件：斜率之积为-1，可得直线l和l'的方程，求得A，B的坐标，运用向量垂直的条件：数量积为0，化简整理，可得以AB为直径的圆方程，运用恒过定点的方法即可得到所求定点．

解答 解：由长轴为4，离心率为$\frac{1}{2}$，
可得a=2，e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，解得c=1，b=$\sqrt{{a}^{2}-{c}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
即有椭圆方程为$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$，
设P为（x₀，y₀），P为切点且P在椭圆上，
设l为$\frac{{{x_0}x}}{4}+\frac{{{y_0}y}}{3}=1$，
由l’与l是垂直，可得l'为$\frac{{y}_{0}x}{3}$-$\frac{{x}_{0}y}{4}$=1，
由直线l'过P（x₀，y₀）点代入，
可得$\frac{{{x_0}{y_0}}}{3}-\frac{{{x_0}{y_0}}}{4}=m$，
即$m=\frac{{{x_0}{y_0}}}{12}$，则l'为$\frac{{{y_0}x}}{3}-\frac{{{x_0}y}}{4}-m=0$，
在l中令x=0得$A（{0，\frac{3}{y_0}}）$，
在l'中令x=0得$B（{0，-\frac{y_0}{3}}）$
由AP⊥BP，可得$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}=0$，
即有${x^2}+（{y-\frac{3}{y_0}}）（{y+\frac{y_0}{3}}）=0$，
化为${x^2}+{y^2}+（{\frac{y_0}{3}-\frac{3}{y_0}}）y-1=0$
假设过定点与P（x₀，y₀）无关，
令y=0，可得x²=1，即x=±1，
则以AB为直径的圆经过定点，定点为（1，0）或（-1，0）．

点评 本题考查椭圆方程的求法，注意运用离心率公式，考查两直线垂直的条件：斜率之积为-1，和数量积为0，考查圆的方程和恒过定点的求法，属于中档题．