Question

【题目】已知数列满足：（常数），（，）.数列满足：（）.

（1）求，的值；

（2）求数列的通项公式；

（3）是否存在k，使得数列的每一项均为整数？若存在，求出k的所有可能值；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1），；（2）；（3）

【解析】

（1）经过计算可知：，由数列满足：，从而可求，；

（2）由条件可知：，得，两式相减整理得，从而可求数列的通项公式；

（3）假设存在正数，使得数列的每一项均为整数则由（2）可知，由，，可求得，2，证明，2时，满足题意，说明为1，2时，数列是整数列即可.

（1）由已知得，，

所以，.

（2）由条件可知：（），①

所以（）.②

①②得.

即：.

因此：，

故（），又因为，，

所以.

（3）假设存在k，使得数列的每一项均为整数，则k为正整数.

由（2）知（，2，3…）③

由，，所以或2，

检验：当时，为整数，

利用，，结合③，各项均为整数；

当时③变成（，2，3…）

消去，得：（）

由，，所以偶数项均为整数，

而，所以为偶数，故，故数列是整数列.

综上所述，k的取值集合是.