Question

7．在平面直角坐标系xOy中，曲线C₁：x²+2y²=2，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C₂的极坐标方程为$ρ=\frac{4}{{\sqrt{2}sinθ+cosθ}}$．
（Ⅰ）写出曲线C₁的参数方程，曲线C₂的直角坐标方程；
（Ⅱ）设M是曲线C₁上一点，N是曲线C₂上一点，求|MN|的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用三角代换直接写出曲线C₁的参数方程，利用极坐标与直角坐标方程的互化求解曲线C₂的直角坐标方程；
（Ⅱ）利用点到直线的距离公式，以及三角函数的最值求解即可．

解答 解：（Ⅰ）曲线C₁参数方程是$\left\{\begin{array}{l}x=\sqrt{2}cosα\\ y=sinα\end{array}\right.$（α是参数），
方程$ρ=\frac{4}{{\sqrt{2}sinθ+cosθ}}$可以化为$\sqrt{2}ρ{sin^2}θ+ρcosθ=4$，
曲线C₂的普通方程是$x+\sqrt{2}y-4=0$；…（5分）
（Ⅱ）因为曲线C₂是直线，所以|MN|的最小值就是M到直线C₂距离的最小值，
设$M（\sqrt{2}cosα，sinα）$，则M到直线C₂距离是$d=\frac{{|{\sqrt{2}sinα+\sqrt{2}cosα-4}|}}{{\sqrt{3}}}=\frac{{|{2sin（α+\frac{π}{4}）-4}|}}{{\sqrt{3}}}≥\frac{2}{{\sqrt{3}}}$，
当且仅当$θ=2kπ+\frac{π}{4}（k∈{Z}）$时取等号，则|MN|的最小值是$\frac{2}{{\sqrt{3}}}$．…（10分）

点评 本题考查极坐标以及参数方程与普通方程的互化，点到直线的距离公式公式的应用，三角函数的最值的求法，考查计算能力．