【题目】已知函数 .
(1)讨论函数的单调性;
(2)设若
对
恒成立,求
的取值范围.
【答案】(1)详见解析;(2).
【解析】
(1)求出f(x)的导数,通过讨论a的范围,确定导函数的符号,从而求出函数的单调区间;
(2)问题转化为对x>1恒成立,令
,通过讨论函数h(x)的单调性得到其最小值,解关于a的不等式即可求出a的范围.
解:(1)定义域为
,
令得
或
,
则
且
①当时,
此时
在
上单调递增;
②当时,
在
和
上单调递增,在
上单调递减;
③当时,
在
上单调递减,在
上单调递增.
综上所述,当时,
在
上单调递增;当
时,
在
和
上单调递增,在
上单调递减;当
时,
在
上单调递减,在
上单调递增.
(2)由题意, ,即
,
即对任意
恒成立,令
则
令则
即
在
上单调递减,
上单调递增,
当时
取得最小值
解得
又的取值范围为
综上所述,实数的取值范围为
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【题目】某企业生产一种产品,根据经验,其次品率与日产量
(万件)之间满足关系,
(其中
为常数,且
,已知每生产1万件合格的产品以盈利2万元,但每生产1万件次品将亏损1万元(注:次品率=次品数/生产量, 如
表示每生产10件产品,有1件次品,其余为合格品).
(1)试将生产这种产品每天的盈利额 (万元)表示为日产量
(万件)的函数;
(2)当日产量为多少时,可获得最大利润?
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【题目】某公司为提高员工的综合素质,聘请专业机构对员工进行专业技术培训,其中培训机构费用成本为12000元.公司每位员工的培训费用按以下方式与该机构结算:若公司参加培训的员工人数不超过30人时,每人的培训费用为850元;若公司参加培训的员工人数多于30人,则给予优惠:每多一人,培训费减少10元.已知该公司最多有60位员工可参加培训,设参加培训的员工人数为人,每位员工的培训费为
元,培训机构的利润为
元.
(1)写出与
之间的函数关系式;
(2)当公司参加培训的员工为多少人时,培训机构可获得最大利润?并求最大利润.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知函数(
且
).
(1)判断函数的奇偶性并说明理由;
(2)当时,判断函数
在
上的单调性,并利用单调性的定义证明;
(3)是否存在实数,使得当
的定义域为
时,值域为
?若存在,求出实数
的取值范围;若不存在,请说明理由.
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【题目】已知椭圆:
,点
是椭圆
内且在
轴上的一个动点,过点
的直线与椭圆
交于
,
两点(
在第一象限),且
.
(Ⅰ)若点为椭圆
的下顶点,求点
的坐标;
(Ⅱ)当(
为坐标原点)的面积最大时,求点
的坐标.
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【题目】在经济学中,函数的边际函数为
,定义为
,某公司每月最多生产
台报警系统装置,生产
台的收入函数为
(单位元),其成本函数为
(单位元),利润等于收入与成本之差.
(Ⅰ)求出利润函数及其边际利润函数
.
(Ⅱ)求出的利润函数及其边际利润函数
是否具有相同的最大值.
(Ⅲ)你认为本题中边际利润函数最大值的实际意义.
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【题目】给出下列四个命题:
①映射不一定是函数,但函数一定是其定义域到值域的映射;
②函数的反函数是
,则
;
③函数的最小值是
;
④对于函数,则
既是奇函数又是偶函数.
其中所有正确命题的序号是( ).
A.①③B.②③C.①③④D.②③④
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