Question

已知函数f（x）=ax³+bx²-2x在x=-2，x=1处取得极值．
①求函数f（x）的解析式；
②求函数f（x）在[-3，3]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析：①是实数集上的可导函数，再通过极值点与导数的关系，即极值点必为f′（x）=0的根建立起相关等式，运用待定系数法确定a、b的值；
②分别求出端点值和极值，通过比较即可的出结论．

解答：解：①∵f（x）=ax³+bx²-2x
∴f′（x）=3ax²+2bx-2…..（2分）
由题意知    f′（-2）=0，f′（1）=0 …．（3分）
则

3a×4-4b-2=0 3a+2b-2=0

?a=

1

3

，b=

1

2

…..（5分）
所以f（x）=

1

3

x³+

1

2

x²-2x…..（7分）
②因为f（-2）=

1

3

(-2)3+

1

2

(-2)2-2×(-2)=

10

3

f（1）=

1

3

×13+

1

2

×12-2×1=-

7

6

f（-3）=

1

3

(-3)3 + 

1

2

(-3)2-2×(-3)=

3

2

f（3）=

1

3

×33+

1

2

×32-2×3=

15

2

．…．（11分）
所以：函数f（x）的最大值为

15

2

，最小值-

7

6

…（12分）

点评：本题考查了利用导数求闭区间上函数的最值，求函数在闭区间[a，b]上的最大值与最小值是通过比较函数在（a，b）内所有极值与端点函数f（a），f（b） 比较而得到的．