Question

5．已知数列{a_n}的前n和S_n=$\frac{3}{2}{n^2}+\frac{5}{2}$n，数列{b_n}的通项公式b_n=5n+2．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设c_n=$\frac{1}{{{a_n}{b_n}}}$，求证：$\sum_{i=1}^n{c_i}＜\frac{2}{25}$；
（3）若数列{a_n}与{b_n}中相同的项由小到大构成的数列为{d_n}，求数列{d_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）当n=1时，求出首项，利用a_n=S_n-S_n-1，求解a_n=3n+1．
（2）利用${c}_{n}=\frac{1}{（3n+1）（5n+2）}$，利用放缩法推出$\frac{1}{5}（\frac{1}{3n-\frac{1}{2}}-\frac{1}{3n+\frac{5}{2}}）$，然后推出结果即可．
（3）利用数列{a_n}与{b_n}中相同的项，得到3n+1=5m+2（m，n∈N^*），通过令2m+1=3p（p∈N^*）通过2m=3p-1=2p+p-1，转化数列{d_n}的通项公式为d_n=15n-8，得到公差15，求解数列的和即可．

解答 解：（1）当n=1时，${a_1}={S_1}=\frac{3}{2}×{1^2}+\frac{5}{2}×1=4$…（1分）
当n＞1时，${a_n}={S_n}-{S_{n-1}}=\frac{3}{2}{n^2}+\frac{5}{2}n-\frac{3}{2}{（n-1）^2}-\frac{5}{2}（n-1）=3n+1$…（2分）
∵当n=1时，3×1+1=4=a₁
∴a_n=3n+1…（3分）
（2）∵${c_n}=\frac{1}{（3n+1）（5n+2）}=\frac{3}{5}×\frac{1}{{（3n+1）（3n+\frac{6}{5}）}}＜\frac{3}{5}×\frac{1}{{{{（3n+1）}^2}}}＜\frac{3}{5}×\frac{1}{{{{（3n+1）}^2}-{{（\frac{3}{2}）}^2}}}$
=$\frac{1}{5}（\frac{1}{{3n-\frac{1}{2}}}-\frac{1}{{3n+\frac{5}{2}}}）$…（6分）
∴$\sum_{i=1}^n{c_i}＜\frac{1}{5}（\frac{1}{{\frac{5}{2}}}-\frac{1}{{\frac{11}{2}}}+\frac{1}{{\frac{11}{2}}}-\frac{1}{{\frac{17}{2}}}+…+\frac{1}{{3n-\frac{1}{2}}}-\frac{1}{{3n+\frac{5}{2}}}）$…（8分）
=$\frac{1}{5}（\frac{2}{5}-\frac{1}{{3n+\frac{5}{2}}}）＜\frac{1}{5}×\frac{2}{5}=\frac{2}{25}$…（9分）
（3）令3n+1=5m+2（m，n∈N^*）∴3n=5m+1=3m+2m+1
令2m+1=3p（p∈N^*）∴2m=3p-1=2p+p-1
令p-1=2k（k∈N）∴p=2k+1，代入上式可得m=3k+1，n=5k+2（k∈N）
∴n=5（k-1）+2=5k-3（k∈N^*）…（11分）
∴d_k=3（5k-3）+1=15k-8∴数列{d_n}的通项公式为d_n=15n-8…（12分）
∵d_n+1-d_n=15（n+1）-8-15n+8=15
∴数列{d_n}是首项d₁=7，公差为15的等差数列 …（13分）
∴${T_n}=\frac{{n（{d_1}+{d_n}）}}{2}=\frac{n（7+15n-8）}{2}=\frac{15}{2}{n^2}-\frac{1}{2}n$…（14分）

点评 本题考查数列的求和，数列与不等式相结合，数列的函数的特征，考查分析问题解决问题的能力．