Question

如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是正方形，棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点．
（1）证明：PA∥平面BDE；
（2）证明：AD⊥平面PDC
（3）证明：DE⊥平面PBC．

Answer 1

考点：直线与平面平行的判定,直线与平面垂直的判定

专题：证明题,空间位置关系与距离

分析：（1）连结AC，设AC与BD交于O点，连结EO．由底面ABCD是正方形，可得OE∥PA，即可证明PA∥平面BDE．
（2先证DE⊥PC．由PD⊥底面ABCD，可证PD⊥AD，又由于AD⊥CD，PD∩CD=D，即可证AD⊥底面PCD．
（3）由（2）可知AD⊥DE．又由题意得AD∥BC，故BC⊥DE．于是，由BC∩PC=C，DE⊥PC，BC⊥DE可得DE⊥底面PBC．

解答： （本题满分12分）
证明：（1）连结AC，设AC与BD交于O点，连结EO．
∵底面ABCD是正方形，∴0为AC的中点，又E为PC的中点，
∴OE∥PA，∵OE?平面BDE，PA?平面BDE，
∴PA∥平面BDE．…（4分）
（2）∵PD=DC，E是PC的中点，∴DE⊥PC．
∵PD⊥底面ABCD，∴PD⊥AD．
又由于AD⊥CD，PD∩CD=D，故AD⊥底面PCD，…（8分）
（3）由（2）所以有AD⊥DE．又由题意得AD∥BC，故BC⊥DE．
于是，由BC∩PC=C，DE⊥PC，BC⊥DE可得DE⊥底面PBC．…（12分）

点评：本题主要考察了直线与平面平行的判定，直线与平面垂直的判定，属于基本知识的考查．