Question

若函数f（x）=x³-bx+1有且仅有两个不同零点，则b的值为

 

．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值

专题：导数的综合应用

分析：若函数f（x）恰好有两个不同的零点，等价为函数的极值为0，建立方程即可得到结论

解答： 解：∵函数f（x）=x³-bx+1，
∴f′（x）=3x²-b，
若b≤0，函数f′（x）=3x²-b≥0，此时f（x）单调递增，不满足条件，
若b＞0，由f′（x）=3x²-b=0得x=±

3b

3

，可验证x=±

3b

3

是函数f（x）的两个极值点，
若函数f（x）恰好有两个不同的零点，
则f（±

3b

3

）=0，
∵f（0）=1＞0，∴只能有f（

3b

3

）=0，
即（

3b

3

）³-b（

3b

3

）+1=0，
化简为b 

3

2

•（-

2 3

9

）+1=0，
解得b=3•4 -

1

3

．

点评：本题主要考查函数零点的应用以及切线方程的求解，根据导数的几何意义是解决本题的关键．