Question

设命题p：方程

x2

1-2m

+

y2

m+2

=1表示双曲线；命题q：?x₀∈R，x₀²+2mx₀+2-m=0
（Ⅰ）若命题p为真命题，求实数m的取值范围；
（Ⅱ）若命题q为真命题，求实数m的取值范围；
（Ⅲ）求使“p∨q”为假命题的实数m的取值范围．．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程,简易逻辑

分析：（Ⅰ）命题p为真命题时，方程

x2

1-2m

+

y2

m+2

=1表示双曲线，求出（1-2m）（m+2）＜0时的解集即可；
（Ⅱ）命题q为真命题时，方程x₀²+2mx₀+2-m=0有解，△≥0，求出解集即可；
（Ⅲ）“p∨q”为假命题时，p、q都是假命题，求出m的取值范围即可．

解答： 解：（Ⅰ）当命题p为真命题时，方程

x2

1-2m

+

y2

m+2

=1表示双曲线，
∴（1-2m）（m+2）＜0，
解得m＜-2，或m＞

1

2

，
∴实数m的取值范围是{m|m＜-2，或m＞

1

2

}；   …（4分）
（Ⅱ）当命题q为真命题时，
方程x₀²+2mx₀+2-m=0有解，
∴△=4m²-4（2-m）≥0，
解得m≤-2，或≥1；
∴实数m的取值范围是{|m≤-2，或≥1}；…（6分）
（Ⅲ）当“p∨q”为假命题时，p，q都是假命题，
∴

-2≤m≤ 1 2 -2＜m＜1

，
解得-2＜m≤

1

2

；
∴m的取值范围为（-2，

1

2

]．    …（12分）

点评：本题考查了双曲线的概念与应用问题，也考查了命题真假的判断问题，一元二次方程有解的判断问题，是综合题目．