Question

双曲线

x2

4a2

-

y2

b2

=1的右焦点F与抛物线y²=4px（p＞0）的焦点重合，且在第一象限的交点为M，MF垂直于x轴，则双曲线的离心率是（　　）

• A、2

  2

  +2
• B、2

  2

• C、

  2

  +1
• D、

  2

  +2

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：根据抛物线的方程算出其焦点为F（p，0），得到|MF|=2p．设双曲线的另一个焦点为F'，由双曲线的右焦点为F算出双曲线的焦距|FF'|=2p，△TFF'中利用勾股定理算出|MF'|=2

2

p，再由双曲线的定义算出2a=（

2

-1）p，利用双曲线的离心率公式加以计算，可得答案．

解答： 解：抛物线y²=4px的焦点为F（p，0），
由MF与x轴垂直，令x=p，可得|MF|=2p，
双曲线

x2

4a2

-

y2

b2

=1的实半轴为2a，半焦距c，另一个焦点为F'，
由抛物线y²=4px的焦点F与双曲线的右焦点重合，
即c=p，可得双曲线的焦距|FF'|=2c=2p，
由于△MFF'为直角三角形，则|MF'|=

|FF′|2+|MF|2

=

4p2+4p2

=2

2

p，
根据双曲线的定义，得4a=|MF'|-|MF|=2

2

p-2p，可得a=

2 -1

2

p．
因此，该双曲线的离心率e=

p

( 2 -1)p

=

2

+1．
故选C．

点评：本题给出共焦点的双曲线与抛物线，在它们的交点在x轴上射影恰好为抛物线的焦点时，求双曲线的离心率．着重考查了抛物线和双曲线的定义与标准方程、简单几何性质等知识，属于中档题．