Question

利用ω=-

1

2

+

3

2

i求值：
（1）（ω+2ω²）²+（2ω+ω²）²；
（2）ω²+

1

ω2

；
（3）类比i（i²=-1），探讨ω（ω³=1，ω为虚数）的性质，即求ωⁿ（n∈R^*）的值．

Answer 1

考点：复数代数形式的混合运算,类比推理

专题：数系的扩充和复数

分析：（1）利用复数的运算法则、共轭复数的定义及其ω³=1，即可得出．
（2）利用复数的运算法则、ω•

.

ω

=1，即可得出；
（3）由ω可得：ω²=

.

ω

，ω³=1，ω²+ω+1=0，ω

.

ω

=1，

.

ω

2=ω，即可得出ωⁿ的性质．

解答： 解：（1）∵ω=-

1

2

+

3

2

i，∴ω²=-

1

2

-

3

2

i=

.

ω

，ω³=1，ω²+ω+1=0，ω

.

ω

=1．
∴（ω+2ω²）²+（2ω+ω²）²=ω²+4ω³+4ω⁴+4ω²+4ω³+ω⁴=5ω²+5ω+8=3．
（2）ω2+

1

ω2

=ω2+

.

ω

2=

.

ω

+

.

ω

2=-1．
（3）由ω=-

1

2

+

3

2

i，可得：ω²=-

1

2

-

3

2

i=

.

ω

，ω³=1，ω²+ω+1=0，ω

.

ω

=1，

.

ω

2=ω，
ωⁿ=

1，n=3k ω，n=3k-2 . ω ，n=3k-1，(k∈Z)

．

点评：本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义及其ω的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．