Question

已知数列{a_n}的前n项和S_n满足S_n=

n2

2

+

n

2

，{b_n}为等比数列，且b₂=

1

4

，b₅=-

1

32

．
（1）若c_n=4+ban，求数列{c_n}的通项公式；
（2）设T_n为数列{c_n}的前n项和，若对任意的n∈N⁺，都有p•（T_n-4n）∈[1，3]，求实数p的值．

Answer 1

考点：数列的求和,等比数列的性质

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）利用递推式可得a_n，利用等比数列的通项公式可得b_n，进而得到c_n．
（2）利用等比数列的前n项和公式、数列的单调性即可得出p的取值范围．

解答： 解：（1）∵数列{a_n}的前n项和S_n满足S_n=

n2

2

+

n

2

，
∴当n=1时，a₁=S₁=

1

2

+

1

2

=1，
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=

n2

2

+

n

2

-[

1

2

(n-1)2+

1

2

(n-1)]=n．
当n=1时，上式也成立．
∴a_n=n．
设等比数列{b_n}的公比为q，且b₂=

1

4

，b₅=-

1

32

．
∴b5=b2q3，∴-

1

32

=

1

4

×q3，解得q=-

1

2

，
∴bn=b2qn-2=

1

4

(-

1

2

)n-2=(-

1

2

)n．
∴c_n=4+ban=4+b_n=4+(-

1

2

)n，即c_n=4+(-

1

2

)n．
（2）由（1）可得：T_n=4n+

1 2 [1-(- 1 2 )n]

1-(- 1 2 )

=4n+

1

3

[1-(-

1

2

)n]．
∴p•（T_n-4n）=p

1

3

[1-(-

1

2

)n]．
∵对任意的n∈N⁺，都有p•（T_n-4n）∈[1，3]，
∴1≤p[1-(-

1

2

)n]≤3，
∴

1

1-(- 1 2 )n

≤p≤

3

1-(- 1 2 )n

，
∴

4

3

≤p≤2．
∴实数p的值范围是

4

3

≤p≤2．
．

点评：本题考查了递推式的应用、等比数列的通项公式及其前n项和公式、数列的单调性、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．